知乎盐选会员精选文章这部分主要讲述数量关系中常见的几种做题方法：比例法、十字交叉法、平均数、方阵与植树问题、容斥原理、抽屉原理以及最不利原则、统筹与优化。
数量关系题型多、方法非常灵活，但同学们在学习阶段一定要沉下心来，认真学习各种计算方法，熟记各种解题方法核心的计算模型，在做题的过程中通过快速阅读题干，迅速定位解题所需的方法和模型，再进行求解。在行测考试中，不能完全放弃数量关系部分，要拿出 100% 的努力，啃下数量关系这块硬骨头。
比例法
比例法的思想是关注数字之间的比例关系，并以此为做题的依据，而所谓的比例，其实就是将题目中的量视为份数，只关注他们之间的比例，进而通过和值和差值得到具体的量。比例关系是能够互相推导的，比如在路程问题里，路程一定，则速度与时间成反比，在经营类问题里，单价一定，则数量与总价成正比等等。比例法非常重要，不只是一种方法，更是一种思维！
1、比例倍数判定
1.如果 a: b=m:n(m, n)互质，则 a 是 m 的倍数；b 是 n 的倍数。
2.如果 a: b=m:n(m, n)互质，则 a±b 应该是 m±n 的倍数。
注意：条件是 m、n 互质，即是最简比。
2、等比定理
若 a:b=c:d（其中 b,d≠0），则（a+c）:（b+d）=（a-c）:（b-d）=a:b=c:d（和分比和差分比定理）；
3、简单示例：如果两个数字之比是 3：2，两个数字之和是 10，请问两个数字分别是多少？如果两个数字之比是 3：2，两个数字之差是 2，请问两个数字分别是多少？所谓的比例，是两个数字之间的比例，可以理解为份数，比例法的适用范围极广，务必掌握并熟练！
【例题 1】两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是 3:1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是 4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？
A. 31:9 B. 7:2
C. 31:40 D. 20:11
【千寻解析】3:1=15:5,4:1=16:4，则体积比是（15+16）/(5+4)=31:9 选择 A
【千寻提醒】运用比例法的时候，列出两个比例式，首先要通过已知条件把他们的比例尺度（相当于单位）化为一致。如本题两个相同的瓶子，代表酒精与水的体积是相同的，
而原来 3:1 中 3+1=4,4:1 中 4+1=5，为了表示成体积一致，我们就要找 4 和 5 的公倍数，然后使两比例左右两边数字之和相等,本题 3:1=15:5，4:1=16:4，这样 15+5=20,16+4=20，体积相同，两比例的比例尺度（单位）就相同了，就可以直接进行加减运算。
【例题 2】某快速反应部队运送救灾物资到灾区。飞机原计划每分钟飞行 12 千米，由于灾情危急，飞行速度提高到每分钟 15 千米，结果比原计划提前 30 分钟到达灾区，则机场到灾区的距离是多少千米：
A.1600 B.1800
C.2050 D.2250
【千寻解析】在行程问题里，比例法有着广泛的应用（为什么？）。速度比 12:15,4:5，时间比 5:4，差一份，一份对应 30 分钟，那么 5 份就是 150 分钟，150 分钟对应较慢的速度，也就是 12 千米。150×12=1800，选 B。
【例题 3】一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的 3 倍。现该船靠人工划动从 A 地顺流到达 B 地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少 2/5。问船在静水中开足动力浆行驶的速度是人工划船速度的多少倍?（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【千寻解析】人工划船速度=人速+水速
（人速+水速）：水速=3:1，人速为 2 份，水速 1 份。
开足动力桨返回，时间比来时少 2/5,则变为原来的 3/5,即时间为 3:5，则（动力桨速度-水速）：（人速+水速）=5:3，则得到动力桨速度为 6 份。动力桨速度/人速=6/2=3
【千寻提醒】对于这种类型的题目，即 M=AB，运用比例法求解，我们首先要找到不变量，然后再找出剩余两个量之间的比例关系。
【例题 4】某小区有 40% 的住户订阅日报，有 15% 的住户同时订阅日报和时报，至少有 75% 的住户至少订阅两种报纸的一种。问订阅时报的比例至少为多少？( )
A.35% B.50%
C.55% D.60%
【千寻解析】订阅日报+订阅时报+都不订阅-都订阅=100%；40%+X-15%+25%=100%，因此选择 B。
【例题 5】工厂组织职工参加周末公益活动，有 80% 的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动人数比为 2:1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的 50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的（ ）。
A.20% B.30%
C.40% D.50%
【千寻解析】设两天都参加的为 X，只参加周日为 2X，只参加周六为 5X，则未参加活动为 2X，所求为 2/5=40%，选择 C。
【例题 6】针对 100 名旅游爱好者进行调查发现，28 人喜欢泰山，30 人喜欢华山，42 人喜欢黄山，8 人既喜欢黄山又喜欢华山，10 人既喜欢泰山又喜欢黄山，5 人既喜欢华山又喜欢泰山，3 人喜欢这三个景点。则不喜欢这三个景点中任何一个的有（ ）人。
A.20 B.18 C.17 D.15
E.14 F.13 G.12 H.10
【千寻解析】A 28+30+42+8+10+5-3=80,100-80=20，选择 A;
【例题 7】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为 90%，调查对象中有 179 人使用搜索引擎获取信息，146 人从官方网站获取信息，246 人从社交网站获取信息，同时使用这三种方式的有 115 人，使用其中两种的有 24 人，另有 52 人这三种方式都不使用。问这次调查共发出了多少份问卷？（ ）
A. 310 B. 360
C. 390 D. 410
【千寻解析】179+146+246-115*2-24+52/90%，选择 D。
【例题 8】出版社新招了 10 名英文、法文和日文方向的外文编辑，其中既会英文又会日文的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这 10 人中，会法文的比会英文的多 4 人，是会日文人数的两倍。问只会英文的有几人？
A. 2 B. 0
C. 3 D. 1
【千寻解析】设只会英文的有 X 人，会英文为 X+1 人，会法文 X+5，会日文 X+5/2，X+X+1+X+5/2=10 X=1；选择 D。
最值问题
求最大、最小值，在计算的过程中要学会运用极限原则、方程计算等。
【例题 1】有 300 名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有 100、80、70 和 50 人。问至少有多少人找到工作。才能保证一定有 70 名找到工作的人专业相同？
A.71 B.119
C.258 D.277
【千寻解析】69*3+50+1=258;C
【例题 2】某单位五个处室分别有职工 5、8、18、21 和 22 人，现有一项工作要从该单位随机抽调若干人。问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过 15 人？
A.34 B.35 C.36 D.37
【千寻解析】5+8+7+7+7+1；B
【例题 3】一小偷藏匿于某商场，三名保安甲、乙、丙分头行动搜查商场的 100 家商铺。已知甲检查过 80 家，乙检查过 70 家，丙检查过 60 家，则三人都检查过的商铺至少有（ ）家。
A.5 B.10 C.20 D.30
【千寻解析】甲没检查过的有 20 家，乙没检查过的有 30 家，丙没检查过的有 40 家，100-20-30-40=10。答案选 B
【例题 4】某单位 2011 年招聘了 65 名毕业生，拟分配到该单位的 7 个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？
A.10 B.11 C.12 D.13
【千寻解析】由行政部门毕业生人数比其他部门都多，问行政部门毕业生人数至少，则所求为其他部门人数最多，设行政部门为 X 人，其他部门均为 X-1 人，X+6（X-1）=65，X=10.1；选择 B
【例题 5】某连锁企业在 10 个城市共有 100 家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第 5 多的城市有 12 家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？
A. 2 B.3 C.4 D.5
【千寻解析】排名前五的城市分别有 16.15,14,13,12 家专卖店，剩下 5 个城市有 30 家店，中位数为 6，排名最后一位城市有 4 家专卖店； C
【例题 6】有 100 人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中，未参加跳远的有 50 人，未参加跳高的有 60 人，未参加赛跑的有 70 人。问至少有多少人参加了不止一个项目？
A.7 B.10 C.15 D.20
【千寻解析】设 b 为满足两个条件，c 为满足三个条件，由公式 A+B+C-b-2c=所有-都不，则 50+40+30-b-2c=100，则 b+2c=20,所求至少有多少人参加了不止一个项目为 b+c,b+c 最小，c 最大，则 c 最大为 10，所求 b+c=10； 答案选 B
十字交叉法
十字交叉法的本质是方程式的变形，证明如下：
一个集合中的个体，只有 2 个不同的取值，部分个体取值为 A，剩余部分取值为 B。平均值为 C。求取值为 A 的个体与取值为 B 的个体的比例。假设 A 占的比例是 X，则 B 占的比例为（1-X）。
AX+B（1-X）=C
X=(C-B)/(A-B)
1-X=(A-C)/(A-B)
因此：X∶（1-X）=（C-B）∶(A-C)
上面的计算过程可以抽象为：
X A C-B
C
1-X B A-C
在溶液问题中（溶液问题是十字交叉的典型模块），假设浓度为 A 的溶液有 M 克，浓度为 B 的溶液浓度有 N 克，两者混合浓度为 C，则存在以下关系：(AM+BN)/(M+N)=C,可以推得 M/N=(C-B)/ (A-C)。
例如，现在有浓度为 20% 的盐溶液和浓度 15% 的盐溶液，混合在一起，得到浓度为 18% 的溶液，求两种溶液的质量比。
20% 3%
18%
5% 2%
很容易看出，二者质量比是 3:2
在实际应用中，很多时候在溶液问题上，我们不需要应用十字交叉法，可以采用更为简单的利用溶剂、溶液、溶质三者之间的关系，列式得出。
【例题 1】甲杯中有浓度为 17% 的溶液 400 克，乙杯中有浓度为 23% 的溶液 600 克。两杯混合后，混合溶液的浓度是多少( )23-x*600=400(x+7)
A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4%
【千寻解析】
方法一:十字交叉法。设混合后溶液的浓度为 x%
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平均数、方阵与植树
一、平均数
总和＝平均数×个数
等差数列中：平均数=中位数=（首数+尾数）÷ 2
【例题 1】一个房间里有 10 个人，平均年龄是 27 岁。另一个房间里有 15 个人，平均年龄是 37 岁。两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是多少岁？（ ）270+370+185=640+185=825,825/25=33
A.30 B.31 C.32 D.33
【千寻解析】：直接算。
（10×27+15×37）/(10+15)=33，答案选择 D
【例题 2】为估算湖中鲤鱼的数量，某人撒网捕到鲤鱼 300 条，并对这 300 条鱼作了标记后又放回湖中，过了一段时间，他又撒网一次捕到鲤鱼 200 条，发现其中鲤鱼有 5 条有标记，由此估算湖中鲤鱼的数量约为：
A. 1200 条 B. 12000 条
C. 30000 条 D. 300000 条
【千寻解析】300 条做了标记，那么有标记的鱼占总数的比例为 300/X，而下一次捕到的 200 条中有 5 条带标记，则有 300/X=5/200,得到 x=12000。此题的意思相当于，平均 40 条有一条带标记，那么 300 条带标记的鱼占总数的比例。答案选 B
【例题 3】甲、乙、丙、丁四人，其中每三个人的岁数之和分别是 55、58、62、65。这四个人中年龄最小的是（ ）。
A.7 岁 B.10 岁 C.15 岁 D.18 岁
【千寻解析】将 55、58、62、65 直接相加，其值等于原来四个数之和的 3 倍，于是得到(55+58+62+65)/3=80，所以最小的数字就是 80-65=15。答案选 C
【例题 4】某班一次期末数学考试成绩，平均分为 95.5 分，后来发现小林的成绩是 97 分，被误写成 79 分，再次计算后，该班平均成绩是 95.95 分，则该班人数是：
A.30 人 B.40 人 C.50 人 D.60 人
【千寻解析】增加的分数不过是被全体同学平均分配罢了，那么有，（97-79）/人数=95.95-95.5,那么有人数=40 答案选 B
【例题 5】小王和小李一起到加油站给汽车加油，小王每次加 50 升 93#汽油，小李每次加 200 元 93#汽油，如果汽油价格有升有降，那么给汽车所加汽油的平均价格较低的是：
A 小王 B 小李 C 一样的 D 无法比较
【千寻解析】
我们用十字交叉法的原理来理解，对于小王，他加高价格和低价格的油的数量是一样多的（都是 50 升），而对于小李，购买高价格的油的数量自然少于低价格的油，所以平均价格较低。所以此题选 B。
二、方阵
方阵实际上就是一个等差数列，每一层就是一项，每一层边长之差为 2，人数之差为 8。
周长=边长×4-4=（边长-1）×4；
方阵总人数=最外层每边人数的平方（面积）；
方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）+1；
方阵每相邻两层人数之差为 8；
去掉 m 行、n 列的矩阵，人数减少=列边长×m+行边长×n-mn；如果是增加，视为负数即可。
【例题 1】某部队阅兵，上级要求其组成一个正方形队列。预演时上级要求将现有队形减少一行一列，这样将有 35 人被裁减。那么原定参加阅兵士兵多少人？
A.289 B.324 C.256 D.361
【千寻解析】
方法一：代入法。答案应满足是完全平方数，且选项减去 35 也是完全平方数。只有 B（对于完全平方数的熟悉有助于迅速得到答案）。答案选 B
方法二：设方阵最外层每边人数为 n，则减少一行一列，人数减少：n+n-1=35,n=18,总人数为 182=324
【例题 2】有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有 68 人，中间一层共有 44 人，则该方阵士兵的总人数是（ ）24/8=3.44*7=308
A.296 人 B.308 人 C.324 人 D.348 人
【千寻解析】
方法一：中间一层共有 44 人，中间一层×层数=总人数，则总人数是 11 的倍数，只有 B。
方法二：直接计算，（68-44）/8=3，则共有 7 层。
总人数为 44×7=308
方法三：直接枚举，每层差 8 人，则有 68，60，52，44，36，28，20 加起来即可。
三、植树问题
植树问题主要有两种基本类型：非封闭问题和封闭问题。在非封闭问题里，树木的数量=间隔+1，即要计算端点位置的数木，在封闭问题里，树木的数量=间隔，这是因为起点和终点重合。
注意：与此类似的，还有数字的数量=数字的间隔+1，日期的数量=日期的间隔+1 等等，都是类似的原理。
【例题 1】某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔 5 米种 1 棵树，可以覆盖整个路段，但这批树苗剩 20 棵。若每隔 4 米种 1 棵树且路尾最后两棵树之间的距离为 3 米，则这批树苗刚好可覆盖整个路段。这段路长为( )。
A.195 米 B.205 米 C.375 米 D.395 米
【千寻解析】
设路程为 s，则 2s/5+2+20=2（s+1）/4+2,s=195 答案选 A
【例题 2】某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的( 不相交 )两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多 6000 米，若每隔 4 米栽一棵，则少 2754 棵；若每隔 5 米栽一棵，则多 396 棵，则共有树苗（ ）。
A.8500 棵 B.12500 棵 C.12596 棵 D.13000 棵
【千寻解析】
方法一：方程法。设共有树苗 x，根据路长相等，可以得到相等关系：(x+2754-4)×4=（x-396-4）×5，x=13000 答案选 D
方法二：比例法，路的间隔数与间隔长成反比（因为路长是一样的，不变的）。
间隔长度为 4:5 间隔数为 5:4
（2754+396）/1×5+4-2754=13000
【例题 3】每年三月某单位要组织员工去 A、B 两地参加植树活动，已知去 A 地每人往返车费 20 元，人均植树 5 棵，去 B 地每人往返车费 30 元，人均植树 3 棵。设到 A 地有员工 X 人，A、B 两地共植树 Y 棵，Y 与 X 之间满足 Y=8X-15。若往返车费总和不超过 3000 元时，最多可植树多少棵？
A.498 B.400
C.489 D.500
【千寻解析】秒杀法：由 Y 必为奇数，答案选 C
常规法：
20X+（Y-5X）/3)*30＜3000
Y-3X≤300
Y=8X-15
X=63 Y=489
容斥原理,抽屉原理以及最不利原则
基础知识与经典例题
容斥原理解题主要利用公式与文氏图。
根据原理列出等式后，通常都可以考虑利用尾数法来判断选项。
1、容斥原理的基本思想
先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目再减去，使得计算的结果既无重复也无遗漏。
2、两集合容斥原理公式：
A∪B =A+B－（A∩B）
（A 或 B 的个数＝A 的个数 +B 的个数－A 且 B 的个数）
3、三集合容斥原理公式：
A∪B∪C=A+B+C－（A∩B+B∩C+C∩A）+（A∩B∩C）
4、分类方法：
将总人数分为只参与一种，参与两种与参与三种（不用考虑到底参加哪两种）。参加一种的人数*1+参加两种的人*2+参加三种的人数*3=总人次；参加一种的人数+参加两种的人数+参加三种的人数=总人数。
【例题 1】现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学实验做正确的有 31 人，两种实验都做错的有 4 人，则两种实验都做对的有（ ）。
A.27 人 B.25 人 C.19 人 D.10
【千寻解析】设两种实验都做对的人数为 x，则有 40+31-x+4=50，解得 x=25（尾数法速算，选 B）。
【例题 2】某单位派 60 名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，白色或黑色裤子。其中有 12 人穿白上衣白裤子，有 34 人穿黑裤子，29 人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？（ ）
A.12 B.14 C.15 D.29
【千寻解析】设穿黑上衣黑裤子的人数为 x，则 29+34-x+12=60，解得 x=15（尾数法速算，选 C）
【千寻提醒】两元容斥。黑上衣+黑裤子-黑上衣且黑裤子+既非黑上衣又非黑裤子（白上衣蓝裤子）=总人数
【例题 3】外语学校有英语、法语、日语教师共 27 人，其中只能教英语的有 8 人，只能教日语的有 6 人，能教英、 日语的有 5 人，能教法、日语的有 3 人，能教英、法语的有 4 人，三种都能教的有 2 人，则只能教法语的有多少人（ ）
A.4 人 B.5 人 C.6 人 D.7 人
【千寻解析】能教英语或者日语的有：8+6+5+3+4-2×2=22（其中三种都能教的多加了两次，所以需要减去）则只能教法语的有 27-22=5
【例题 4】某通讯公司对 3542 个上网客户的上网方式进行调查，其中 1258 个客户使用手机上网，1852 个客户使用有线网络上网，932 个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有 352 个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（ ）
A.148 B.248 C.350 D.500
【千寻解析】容斥原理的核心是要减去重复计算的部分。设三种上网方式都使用的有 x 个，则使用两种上网方式的客户有 352-x 个，前者重复计算了 2 次，后者重复计算了 1 次。得到方程，1258+1852+932-2x-(352-x)=3542，解得 x=148。
注意：使用不只一种上网方式的客户数=使用两种+使用三种
【例题 5】小赵，小钱，小孙一起打羽毛球，每局两人比赛 ，另一人休息，三人约定每一局的输方下一局休息，结束时算了一下，小赵休息了 2 局，小钱共打了 8 局，小孙共打了 5 局，则参加第 9 局比赛的是：
A.小钱和小孙 B.小赵和小钱
C.小赵和小孙 D.以上皆有可能
【千寻解析】小赵休息了 2 局，则小钱与小孙对打了 2 局，
则总局数为：8+5-2=11
又小孙打了 5 局，则小孙休息了 6 局，由于小孙不能连着休息，则小孙只能在第 1、3、5、7、9、11 局的时候休息。
则第 9 局比赛的是小钱和小赵。
【例题 6】某班有 60 人，参加物理竞赛的有 30 人，参加数学竞赛的有 32 人，两科都没有参加的有 20 人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人？
A.28 B.26
C.24 D.22
【千寻解析】参加物理+参加数学-都参加+都不参加=总数
30+32-X+20=60 答案选 D
【例题 7】某小区有 40% 的住户订阅日报，有 15% 的住户同时订阅日报和时报，至少有 75% 的住户至少订阅两种报纸的一种。问订阅时报的比例至少为多少？
A.35% B.50%
C.55% D.60
【千寻解析】订阅日报+订阅时报+都不订阅-都订阅=100%
40%+X-15%+25%=100% 答案选 B
【例题 8】工厂组织职工参加周末公益活动，有 80% 的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动人数比为 2:1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的 50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的（ ）。
A.20% B.30% C.40% D.50%
【千寻解析】设两天都参加的为 X，只参加周日为 2X，只参加周六为 5X，则未参加活动为 2X，所求为 2/5=40% 答案选 C
【例题 9】针对 100 名旅游爱好者进行调查发现，28 人喜欢泰山，30 人喜欢华山，42 人喜欢黄山，8 人既喜欢黄山又喜欢华山，10 人既喜欢泰山又喜欢黄山，5 人既喜欢华山又喜欢泰山，3 人喜欢这三个景点。则不喜欢这三个景点中任何一个的有（ ）人。
A.20 B.18
C.17 D.15
E.14 F.13
G.12 H.10
【千寻解析】28+30+42+8+10+5-3=80,100-80=20；
【例题 10】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为 90%，调查对象中有 179 人使用搜索引擎获取信息，146 人从官方网站获取信息，246 人从社交网站获取信息，同时使用这三种方式的有 115 人，使用其中两种的有 24 人，另有 52 人这三种方式都不使用。问这次调查共发出了多少份问卷？（ ）
A.310 B.360 C.390 D.410
【千寻解析】179+146+246-115*2-24+52/90%；答案选 D
【例题 11】某出版社新招了 10 名英文、法文和日文方向的外文编辑，其中既会英文又会日文的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这 10 人中，会法文的比会英文的多 4 人，是会日文人数的两倍。问只会英文的有几人？
A.2 B.0 C.3 D.1
【千寻解析】设只会英文的有 X 人，会英文为 X+1 人，会法文 X+5，会日文 X+5/2，X+X+1+X+5/2=10，X=1；答案选 D
抽屉原理
抽屉原理模型：现在有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。
此类题目关键在于构造合适的抽屉，根据题目要求将小球（苹果）放进去。
【例题 1】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有 100 道题，且小明做对了 68 题，小刚做对了 58 题，小红做对了 78 题。问三人都做对的题目至少有几题？68+58+78-200
A.4 题 B.8 题 C.12 题 D.16 题
【千寻解析】 68+58+78-100×2，算尾数，答案选 A。
【例题 2】共有 100 个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有 5 道题，1－5 题分别有 80 人，92 人，86 人，78 人，和 74 人答对，答对了 3 道和 3 道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试？
A.30 B.55 C.70 D.74
【千寻解析】
方法一：正向思考。
做对题的总人次是 80+92+86+78+74=410，
要使得通过考试的人最少，则没通过考试的人做对的题尽可能多，每人做对 2 道，可以做对 2×100=200 道，多出 410-200=210，要使得通过考试的人最少，则通过考试的人做对的题尽可能多，210=70×3，所以至少有 70 人通过考试。 答案选 C
方法二：逆向思考。
总共做错 500-410=90 道题，要使得通过考试的人最少，则没有通过考试的人尽可能多，则没通过考试的每人做错题尽可能少
90=3×30,100-30=70
方法三：做对且仅做对 1、2、3、4、5、0 道题的人数各为 A、B、C、D、E、X，则有 A+B+C+D+E+X=100
A+2B+3C+4D+5E=80+92+86+78+74=410
要使得 C+D+E 最小，则让 B 尽量大，则 A=X=0，B+C+D+E=100，C+2D+3E=210，210=70×3
【例题 3】共有 100 个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有 5 道题，1－5 题分别有 80 人，92 人，86 人，78 人，和 59 人答对，答对了 3 道和 3 道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试？
A.65 B.66 C.67 D.68
假设答错的 2 道人数最多，41，500-395=105，105=41+32*2，68
【千寻解析】
方法一：正向思考。
总做对人次 80+92+86+78+59=395，395-100×2=195
195=59×3+9×2
通过考试的有 59+9=68
方法二：逆向思考。
总做错题次 500-395=105,
100-59=41
105=41×1+32×2
则共有 100-32=68 人能通过考试
方法三：
设做对且仅做对 1、2、3、4、5、0 道题的人数依次为 A、B、C、D、E、X，则 A+B+C+D+E+X=100，
A+2B+3C+4D+5E=80+92+86+78+59=395
C+D+E 尽可能小，则 B 得尽可能大，A、X 取 0
则 B+C+D+E=100，C+2D+3E=195=59×3+9×2,59+9=68
统筹与优化
【例题 1】某洗车店洗车分外部清洁和内部清洁，两道工序时间均不少于 30 分钟，而且同一辆车两道工序不能同时进行，洗车间同一时间只能容下２辆车。现有９辆车需要清洗，汽车进出洗车间的时间可忽略不计，则洗完９辆车至少需要的时间为：
A.330 分钟 B.300 分钟
C.270 分钟 D.250 分钟
【千寻解析】洗一辆车需要 60 分钟。洗两辆车我们也需要 60 分钟。洗甲、乙、丙三辆车我们可以按照如下操作进行：
甲 1 乙 1 30 分钟
甲 2 丙 1 30 分钟
乙 2 丙 2 30 分钟
由此可见，洗三辆车只需要 90 分钟，平均每辆车 30 分钟。
因此，当车辆数大于等于 2 时，平均每辆车只需要 30 分钟。
题目中洗 9 辆车，需要 9×30=270 分钟。
以上分析结合了具体过程，而我们可以利用整体思维，只关注总体需要 540 分钟，而每次可以洗两辆，直接 540/2=270。 选择 C
【例题 2】某公司要买 100 本便签纸和 100 支胶棒，附近有两家超市。A 超市的便签纸 0.8 元一本，胶棒 2 元一支且买 2 送 1。B 超市的便签纸 1 元一本且买 3 送 1，则胶棒 1.5 元一支，如果公司采购员要在这两家超市买这些物品，则他至少要花多少元钱?
A. 183.5 B. 208.5 C. 225 D. 230
【千寻解析】统筹的目的很简单，就是实现尽量便宜，A 超市胶棒相当于 2/3 元每只，B 超市便签纸相当于 3/4 元每本，所以有 3/4*100+4/3*99+1.5=208.5 选择 B
【例题 3】小王和小刘手工制作一种工艺品，每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成，小王每天可以制作 150 个甲部件，或者制作 75 个乙部件；小刘每天可以制作 60 个甲部件，或者制作 24 个乙部件。现两人一起制作工艺品，10 天时间做多可以制作该工艺品（ ）件。
A. 660 B. 675 C. 700 D. 900
【千寻解析】同例 6 一样，我们也只需要关注小王和小刘做什么效率最高，小王做甲乙的效率是 2：1，小刘做甲乙的效率是 5：2，将 2：1 看作是 4：2，那么，4：2 和 5：2 相比，显然小刘做甲更合适，那么小王做乙，小刘做甲，10 天 600 个，小王做乙，10 天 750 个，那么两人一共做 600 个工艺品，小王还剩下 150 个乙，而对于小王，一个乙可以换 2 个甲，于是拿出 50 个乙取换甲，得到 100 个甲，而且剩下 100 个乙，于是得到 600+100=700 答案选择 C