知乎盐选会员精选文章昨天聊了大数法则，咱们知道了为什么久赌必输。今天我们来聊聊投资中另一个非常重要的公式，叫做凯利公式。这个公式在博彩业非常有名，它可以计算出最佳投注比例，用在投资里，它可以帮我们实现仓位管理。
我们在投资决策中，经常会遇到这样的情况，比如说，有一个投资机会，有 70% 的可能性盈利 100%，30% 的可能性会亏掉 50%，那么你应该投入本金的百分之多少去参与呢？在回答这个问题之前，我们先来跟大家讲一个真实发生在 50 多年前的故事，这个故事也发生在赌场里。
1961 年的一个晚上，美国内华达州雷诺市中心的哈罗德俱乐部里来了一个不速之客。
哈罗德俱乐部是一家当地小有名气的赌场，不仅合法，而且还有精彩的歌舞表演，很受当地赌徒的欢迎。这个陌生的赌客进门后，就立刻到下注金额最大的 21 点的牌桌坐了下来。一开始他不动声色，两局之后忽然加大了赌注，并且连续赢钱。只用了 15 分钟，他就连赢了 500 美元。
发牌员赶紧按动了地板上的秘密按钮。这个按钮按钮的线路直接通到赌场老板史密斯办公室，他立刻赶到了牌桌前。他面前的这个陌生人看上去貌不惊人，留着深色短发，戴一副宽边眼镜，身穿深色西装，说话语速很快，略带一些不自信的样子。看穿戴，他像是一个从外地来观光的公司文员。
赌场老板没有发现这个陌生人采用任何作弊的方法。却发现他一个不一样的地方：他一般下注不大，发牌时，通常每手只下注 5 美元。但是和其他人不同，只要在一副牌快要发完时，他常常突然把赌注加到每手 500 美元，并且几乎全部都赢了。用这种方式，陌生人很少输钱，却一次次把大钱赢到手。
这个陌生赌徒是谁呢？他是麻省理工的数学教师，名叫爱德华·索普。两三年前，索普偶然读到一篇关于 21 点发牌策略的论文，这篇文章是军队里四个美国大兵创立的。这四个逗逼的青年在营房里闲得蛋疼，就玩 21 点。当时军方刚刚开始配备计算机，这几个大兵居然用计算机算出了所有牌面组合的可能性。当时身为数学博士的索普给作者之一写了一封信，请求一窥原始的算法。在拿到算法之后，索普借助在 IBM 计算机上设计的一个程序，创建出了一套更加精确的算牌策略。索普还引用了另一位物理学家凯利的的研究成果，我们后面还会详细提到凯利和凯利公式。
算牌的办法有很多，它最基本的理论是：如果牌仓里有大量小点数的牌时，你就搏小；如果大部分小点数的牌都已经使用过了，牌仓里剩下大量大点数的牌时，你就搏大。我们学过大数法则和小数法则：在牌的总量有限的情况下，随着时间的推移，你可以对剩余的牌获得统计学上的优势。
数牌策略用到极致会出现什么情况？打个比方，代表赌场的发牌员和索普一起玩 21 点。索普在一张牌桌上同时玩 7 手，一个人占据了 7 个位置。除了发牌员的牌，每发出一张牌他都能知道是什么。
一副牌 54 张，只能玩两到三局。前两局发牌时，索普先每手下注 5 美元，就算 7 局全输了，也不过几十美元。但他同时在心里记下每张牌。到了最后一局，通过排除已经发出的牌，如果发现剩下的牌对自己有利，他就在下一轮发牌前果断把赌注加到每手 500 美元。这样，他肯定胜券在握。
很明显，数牌策略只有两个关键点。一是尽可能扩大已知的信息，减少未知信息；
二是在结果不确定的时候少押注，在结果确定的时候押重注。通过这种方式，索普把输钱的概率降到了很低，然后把赢钱的概率提到了最高。
这和投资有什么关系呢？
无论做什么投资，都需要关注概率和赔率的关系，如果赢钱概率低，就降低赌注、降低赔率；如果赢钱概率高，就提高赌注、提高赔率。我们小时候都听过一句话，人生虽然漫长，关键处只有几步。投资也是这样。
回到 1961 年的神秘赌客索普，他用自己独创的算法和准确的策略，把一头雾水的美国各州赌场搞得鸡飞狗跳。索普过了好几年乔装打扮、「洗劫」赌场的生活，也赚了不少钱。因为他和几位合作者的影响，美国赌场甚至调整了 21 点的规则，引发了整个博彩业的动荡。索普后来写了一本书，叫做《击败庄家》。这本书在美国的影响很大，美国社会上出现了一种文化潮流。想不劳而获挣大钱吗?喜欢紧张刺激、光鲜体面的生活吗？来做职业赌徒吧。一时间数以千计的美国人开始梦想着使用数牌策略在赌场中发家致富。一直到 2008 年，好莱坞拍过一部电影《决胜 21 点》，凯文·斯派西是主演之一，故事里 MIT 师生玩转 21 点的情节，依然有索普的原型。爱德华·索普后来成为美国华尔街量化交易对冲基金的鼻祖，70 年代首创第一个量化交易对冲基金。
提到索普，就不能不提到他在数牌策略中引用到的一位同时代的物理学家的著名公式，这就是凯利公式。今天，人们在赌球等博彩互活动时，或者专业投资者进行仓位管理时，都会提到凯利公式。
凯利公式，或者说凯利系统、凯利方程式是一种关于如何分配仓位的数学理论，提出者约翰·拉里·凯利是美国贝尔实验室的一位物理学家。凯利公式略微复杂，我只简单讲一下原理和应用。
简单地说，凯利公式是决解如何把握概率和赔率的关系的问题。
开头我们提到：我们在投资决策中，经常会遇到这样的情况，经常会遇到一个投资机会，有 70% 的可能性盈利 100%，有 30% 的可能性会亏损 50%，那么你应该如何决策，应该投入本金的百分之多少去参与呢？
凯利公式就提供了这样一套科学的计算方法，通过概率和赔率变动的情况下，调整投入资金的大小，来保证收益的最大化，同时避免出现本金归零的情况。
比如说，根据计算，这笔投资最优化的投资本金比例是 27%，也就是说假如你有 100 块钱，你应该拿 27 块钱去参与这次投资。这样你既能保证收益的最大化，同时又把风险控制在最小。
再比如说，我们举过的例子——赌王和沙特王子掷硬币，一把定输赢。赌王有 50% 的可能性赢 100%，有 50% 的可能性输 100%，他最理性的选择是什么呢？根据凯利公式，肯定是不参与嘛。
在凯利公式提出之前，很少由人意识到按比例控制下注金额的重要性，更不要说用公式来计算比例。在局势对自己有利的情况下，绝大多数人都自然会产生加大赌注的冲动，在赌场上、在股市里、在实业界，这样的例子比比皆是，几乎所有的破产都是源于这种错误的冲动。同样的，很多人在盈利概率 99%，亏损概率 1% 的情况下仍然极度保守，白白错过了机会。
跟大家分享一位朋友的投资经。他是出身小山村的小老板，没读过几天书，看不懂大盘短线，也不听消息题材。他只有一招，就是在上证指数跌回到 2000 点的时候，选一只「国家看好的股票」，全仓杀入。之后无论涨跌，都不再关注。一直到几年后，一波牛市起来，这只股票只要涨到两倍，就立刻卖掉。他选股的能力真的很一般，但是他用这种方式，每一轮周期都能翻一番，而且从来没有亏过。这位朋友盈利最重要的原因是什么？因为在大盘进入底部区域的时候，他明白，下跌概率变得很低，上涨概率变得很高，这时候他敢下重注。
今天，我们聊了数牌策略和凯利公式。最后我们来总结一下：
第一，无论做什么投资，都需要关注概率和赔率的关系，如果赢钱概率低，就降低赌注、降低赔率；如果赢钱概率高，就提高赌注、提高赔率。
第二，凯利公式告诉我们，控制仓位是非常重要的。仓位的重要性甚至大于概率和赔率。哪怕有极小的可能性血本无归，也不应该冒险；同样，在获胜概率极大时，应该大胆增加仓位。
第三，不妨阅读和演算一下文章下方的凯利公式，看看会给你的资产配置或者其他投资或游戏，带来哪些帮助。
附注：
凯力公式的最一般性陈述为，藉由寻找能最大化结果对数期望值的资本比例 f*，即可获得长期增长率的最大化。对於只有两种结果（输去所有注金，或者获得资金乘以特定赔率的彩金）的简单赌局而言，可由一般性陈述导出以下式子：
f*=（bp-q)/b
其中
f*为现有资金应进行下次投注的比例；
b 为投注可得的赔率（此处的赔率定义不清楚，应该是净赔率）；
p 为获胜率；
q 为落败率，即 1-p；
若一赌博有 40% 的获胜率（p=0.4，q=0.6），而赌客在赢得赌局时，可获得二对一的赔率（b=2），则赌客应在每次机会中下注现有资金的 10%（f*=0.1），以最大化资金的长期增长率。
除可将长期增长率最大化外，此方程式不允许在任何赌局中，有失去全部现有资金的可能，因此有不存在破产疑虑的优点。
比如，我有 1 万元买股票，30% 幅度止盈，10% 的幅度止损，最多盈利 3000，最多亏损 1000，这里 rW=0.3，rL=0.1，此时可以计算最优仓位。