知乎盐选会员精选文章阿罗不可能定理
在帕累托提出效率与公平问题数百年后，一个叫肯尼斯·J.阿罗（Kenneth J. Arrow）的纽约年轻人站了出来。这位年轻人从哥伦比亚大学毕业后由于无法进入中学当老师，不得不继续攻读统计学的研究生课程。可阿罗无法忘记父亲如何在大萧条中失去了自己的成功企业和所有存款，这使阿罗见识了所有的不公平，追求社会公正成了阿罗努力的目标。
阿罗提出了一个无比精彩的问题：如果人人可按照偏好顺序把一切状态进行评级，能否找到一个表决规则，选出其中「最好」的结果？
更加难得的是，阿罗不仅提出了问题，还给出了精彩的解答，并用当时经济学家们不怎么熟悉的逻辑符号，解决了这个从未有人提出、更没有人能够解决的问题。
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肯尼斯·J.阿罗
阿罗最初的想法是这样的：人类在各种背景下的经济行为，都是在有限的几个方案中做出的合理的选择，比方说，家庭要从不同的商品组合中做出选择，企业要从不同的生产方式中做出选择。正如我们所知道的理性，其实就是将不同的选择方案进行比较，排列出先后顺序，并从中选取最好的方案。
阿罗将这种比较选择的方法推广到政治领域，他的证明告诉人们，这种多数表决制度，事实上并不能保证能做出一个最优排序，这也被称为阿罗不可能定理。比如，要求 A、B、C 三人投票选择 X、Y、Z 三种可能的社会状态。假设 A 宁愿选 X 而不选 Y，而且愿选 Y 而不选 Z；B 也宁愿选 Y 而不选 Z，但却愿选 Z 而不选 X；C 和 B 一样宁愿选 Z 而不选 X，但和 A 一样宁愿选 X 而不选 Y。这样将会出现：X 以 A 和 C 两票胜 Y，Y 以 A 和 B 两票胜 Z，但是 X 胜不了 Z，因为 Z 以 B 和 C 两票胜 X。换句话说，在这个有三个表决者和三种可能性的简单例子中，民主的多数选择办法导致了僵局。
令大多数经济学家始料未及的是，阿罗的「不可能性定理」对政治哲学和福利经济学造成的影响如此惊人，以至后来足有几百篇论文驳斥这个定理。最终，阿罗的定理经受住一切技术性批评，人们接受了这个纽约小伙子的观点，人们也将无数的荣誉授予这位伟大的经济学家：经济计量学会会长、管理科学会会长、经济协会会长，最高荣誉是 1972 年与英国经济学家约翰·理查德·希克斯分享了诺贝尔经济学奖。
阿罗经过严格的证明告诉人们这样一个悖论：如果我们希望整个社会理性，那么不可避免出现一个独裁者；但如果不要任何独裁者，那么做出来的社会抉择往往是非理性的。阿罗的努力把人们的视线从市场民主延伸到了政治民主，他提出的疑问直接导致人们对福利经济学的怀疑，人们甚至怀疑「民主」本身。
另一位经济学家跟随阿罗的脚步，取得了令人瞩目的成果，他的名字叫阿马蒂亚·森（Amartya Sen）。这位来自印度的经济学家 9 岁时经历了印度孟加拉邦的大饥荒，在这场饥荒中饿死了 300 万印度人，饥饿的农民到森的祖父家要饭的场景深深地印在他的脑海里，这也让森后来将毕生的精力都放在福利经济学领域。
这位穷人经济学家将阿罗的不可能定理进行了延伸，他告诉人们这样一个结论：如果将阿罗的不可能定理进行弱化，那么社会选择可以理性，但这时会出现帕累托有效和最小自由之间的冲突。
打个比方，你想把客厅刷成红色，如果全社会投票反对就不能刷，这就是阿罗不可能定理。森把这个定理弱化了，比如你想把客厅刷成红色，这就是你的最小自由，因而你拥有这个权利。森告诉我们：在这样的条件下，虽然社会能够理性，但是这样的理性是无意义的。因为如果社会上每个人都有自己的最小自由，那么整个社会就如同被掏了一个个「小窟窿」，剩余的选择才是社会选择，显然这样的理性无从谈起。
领跑理论
兼顾效率与公平是所有社会的目标，为了协调这对看似不能调和的矛盾，无数经济学家奉献了自己的智慧。
阿罗首先证明所有完美市场是有效的，他的天才想法是：通过调整起点，利用完全竞争的市场可以得到所有有效的结果。阿罗的方案被经济学家们称为「领跑理论」。
让我们回到博尔特的百米赛跑中，显然因为博尔特最后没有全力冲刺的原因是因为领先第二名很多，因此如果想让所有的选手同时撞线，你就必须改变规则，让速度快的选手慢下来，然后大家一起冲刺，当然这是对运动员才能的浪费。还有一种方案，将某些起跑器向前搬，再把有的起跑器向后搬，以使所有的选手都尽快跑。比如，将博尔特的起跑器向后搬 5 米，这样他就必须全力冲刺才能争取这枚金牌，因此在遵守通用规则的条件下，速度最快的选手必须跑更多的路，才能和最慢的选手同时到达终点。
阿罗证明，在努力平衡竞争性市场中，这种方法能够奏效，它本身并不干预市场，而是通过一次性付款或一次性征税来调整起跑点。事实上，这种方法很像遗产税，改变财富分配的起点，并以此给大家重新公平竞争的机会，同时又保留了社会的延续性。
当然，百米比赛的解决方案是相对简单的，只要调整起跑器的位置就可以了。然而在真正的经济市场中，当数十亿不同商品、人才准备起跑时，谁来搬动起跑器呢？这似乎是个不可能完成的任务，领跑理论只是一种大胆的主张。
阿罗实际上向我们传达了这样一个信息：可以让竞争性的经济体利用各种本领和原材料，利用每一次贸易、合作、教育、投入的机会，通过转移起跑点，让完美的市场完成其他工作。
但真的能这么做吗？
面对今天的姚明，按照阿罗的方法，应该在他 25 岁时被一次性收取数千万美元的重税，这样他仍有动力去不断地打比赛、拍广告赚钱，因为他无法通过减少比赛来避税，他赚的钱足以支付税款，并且能够让他住海滨别墅，在这种情形下，才能和其他人一样实现「结果公平」。
方案是近乎完美的，缺点只有一个——无法实施。
当然，我们不能因此就放弃领跑理论，恰恰相反，它有助于我们思考效率与公平问题的解决方式。我们在遇到类似的问题时，首先应该想到的是能否挪动「起跑器」，而不是干预比赛；应首先考虑依靠市场调节，而不是对市场横加阻挠。